Z tablicy interaktywnej, ćw. 6

Treści zadań: patrz tutaj

Równania ,,modulo'':

Zadanie 1:

To zadanie zostało starannie skomentowane w materiałach do dzisiejszych ćwiczeń, zapraszam.

Zadanie 2(a):

nwd(5,7) = 1 dzieli wyraz wolny 4, więc rozwiązania istnieją. Należy znaleźć takie x i y, że
   5·x + 7·y = 4     (1)
Z rozszerzonego algorytmu Euklidesa mamy:
   5·3 + 7·(−2) = 1
Mnożymy przez 4:
   5·12 + 7·(−8) = 4     (2)
To nam daje jedno rozwiązanie równania niejednorodnego (1) (czyli z niezerowym wyrazem wolnym). Jego wersja jednorodna
   5·x + 7·y = 0
ma rozwiązanie ogólne
   5·7t + 7·(−5t) = 0     (3)
(dla dowolnego t∈Z). Równości (2) i (3) po zsumowaniu dają
   5·(12+7t) + 7·(−8−5t) = 4
Po przejściu do reszt modulo 7 mamy
   5·(12+7t) ≡₇ 4
więc ogólnym rozwiązaniem równania ,,modulo'' z punktu (b) jest
   x = 12+7t    dla dowolnego t∈Z.

Zadanie 2(d):

(*) — po prawej stronie zostało policzone (algorytmem Euklidesa), że
nwd(324,96) = 12 = 324·3 + 96·(−10)
a po lewej zostało sprawdzone, że ten największy wspólny dzielnik jest podzielnikiem wyrazu wolnego, więc rozwiazanie istnieje.

Zadanie 3(b):

Wyliczone rozwiązanie:
   x ≡₁₁ 0
   y ≡₁₁ 5
   z ≡₁₁ 5

Zadanie 4:

Chińskie twierdzenie o resztach:

Zadanie 7(a):

Ostatnia modyfikacja: 27 kwietnia 2025